(Перейдём теперь к введению нового для нас понятия - определённого интеграла. Прежде чем дать это определение понятию определённого интеграла, рассмотрим одну задачу, которая естественным образом приводит к этому понятию. Это определение площади криволинейной трапеции.)

Когда я был мал - я матан не понимал.
Всё изменилось когда я взял свой первый интеграл.
Я не готовился особо - дерзость, молодость, запал...
Мама ама криминал, ама криминал!
"График функции нужен" - сказал я себе.
Провёл прямые x = a и x = b.
Площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс, 
Прямыми и графиком [Не разобрал
как-то].

Определённый интергал, чисто конкретный интеграл.
От a до b площадь под графиком, как я сказал.
Ты думал, что матан так же тяжёл, как металл?
А вот и нет! Определённый интеграл качает зал. x2

(Вот эту процедуру, которую я наметил в общих словах, щас мы с вами разопишем более подробно. Дальше проделаем следующую операцию - я воспользуюсь наличием здесь чертежа и расскажу, что мы будем делать в дальнейшем.)

Вот ты нашел интеграл - этот жемчуг в море чисел.
Ты спрашиваешь: "Влад, какой вообще в этом смысл?"
Что ты, что ты... Заполним в голове пустоты.
Если функция - сила, то интеграл - это работа.
Есть в зале экономисты? Эрнст, да?
Если функция это - производительность труда,
То объем произведённой за всё время продукции
Корпорацией монстров - есть интеграл функции.

Определённый интергал, чисто конкретный интеграл.
От a до b площадь под графиком, как я сказал.
Ты думал, что матан так же тяжёл, как металл?
А вот и нет! Определённый интеграл качает зал. x4

(И теперь вернёмся к тому, с чего мы начали, когда рассматривали площадь криволинейной трапеции. Помните, мы с вами получили выражение для неё, что S равнялось у нас пределу интегральной суммы? Так вот, выражение для площади S рассмотренной криволинейной трапеции теперь может быть с помощью определённого интеграла записано в следующем виде: S равняется интегралу от a до b f(x)dx. В этом и состоит геометрический смысл определённого интеграла.)