Родился в семье армянских эмигрантов, уехавших во Францию в 1922 г. Отец, который был наполовину грузин и наполовину армянин[5], родился в г. Ахалцихе Тифлисской губернии Российской империи. (Дед Азнавура по отцовской линии был поваром губернатора в Тбилиси)[6]. Мать Азнавура происходила из армянской купеческой семьи, жившей в Турции.

Учился в детской артистической школе, а позже — в центральной школе TSF (Париж). С 9 лет пел и играл на сцене, уже в 1936 г. дебютировал в кино. Первоначально Азнавур выступал в дуэте с композитором Пьером Рошом. Обоих заметила Эдит Пиаф, и в 1946 г. Азнавур и Рош приняли участие в её турне по Франции и США. С этого времени начинается профессиональная карьера Азнавура как шансонье. Однако решительный прорыв на музыкальный Олимп произошёл в 1956 г., после удачных концертов в Касабланке и Париже, где в известном зале «Олимпия» он долгое время выступал трижды в день. В начале 1960-х Азнавур дал концерты в нью-йоркских залах «Carnegie Hall» и «Ambassador Hotel», а позже на фирме Фрэнка Синатры «Reprise Records» выпустил свой первый американский альбом. Азнавуром написано более тысячи песен, исполнявшихся им самим, а также Рэем Чарльзом, Бобом Диланом, Лайзой Миннелли, Хулио Иглесиасом и другими. Азнавур выступал в дуэте с Фрэнком Синатрой, Селин Дион, Л. Паваротти, П. Доминго, П. Каас, Л. Миннелли, Э. Сегара и др.

Азнавур — автор музыки к опереттам «Monsieur Carnaval» (1965), «Douchka» (соавт., 1973) и «Lotrek» (2004).

В числе всемирно известных песен Азнавура — «Богема», «Мама», «Вечная любовь», «Немодные радости», «Молодость», «Вчера ещё», «Изабелла», «Она», «Как говорят», «Аве Мария», «Нет, я ничего не забыл», «Я уже представлял», «Потому что», «Две гитары», «Унеси меня», «Надо уметь», «Умереть за любовь» и др.

В 2006 году 82-летний Азнавур отправился на Кубу, где вместе с Чучо Вальдесом написал альбом «Color Ma Vie», который был издан 19 февраля 2007 года. Мировая премьера новых песен состоялась в Москве, где 20 апреля 2007 года Азнавур дал единственный концерт.